Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel, Contoh Soal, Rumus, Cara Menyelesaikan, Model Matematika, Pembahasan, Praktikum - Para pedagang atau pengusaha tentu ingin memperoleh keuntungan maksimum. Sebelum melakukan transaksi ataupun pengambilan keputusan dalam usahanya, mereka pasti membuat perhitungan yang matang tentang langkah apa yang harus dilakukan. Oleh karena itu, diperlukan metode yang tepat dalam pengambilan keputusan pedagang atau pengusaha tersebut untuk memperoleh keuntungan maksimum dan meminimumkan kerugian yang mungkin terjadi. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat. menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya;. menentukan fungsi tujuan (fungsi objektif) beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear;.
menggambarkan kendala sebagai daerah pada bidang yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear;. menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan sebagai penyelesaian dari program linear;. menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian masalah program linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode grafik. Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secara visual gambaran tentang daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear yang berbentuk aljabar. Karena secara umum grafik pertidaksamaan linear seperti ax + by ≥ c, ax + by c, ax +.
Kegiatan: Simaklah persoalan berikut. Suatu perusahaan produsen mebel memproduksi dua jenis produk, yaitu meja makan dan lemari. Meja makan dijual dengan harga Rp650.000,00 dan lemari dijual dengan harga Rp1.100.000,00.
Grafik€himpunan€€penyelesaian€sistem€pertidaksamaan€linear€dengan€dua€variable Tujuan€Kegiatan€Belajar€1 Setelah€mempelajari€Kegiatan€Belajar€ini€diharapkan€siswa€dapat€: 1.
Perusahaan itu memiliki target sebanyak 500 unit mebel produknya harus terjual dalam periode itu. Untuk memproduksi satu unit meja makan, diperlukan waktu 2 hari, sedangkan untuk memproduksi satu unit lemari, diperlukan waktu 5 hari.
Waktu yang disediakan 150 hari. Berapa banyak meja makan dan lemari yang harus diproduksi oleh perusahaan itu agar pendapatannya maksimum?
Halooo adik-adik, ketemu lagi dikesempatan kali ini. Kita mau belajar tentang program linear. Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah. 60 PEMBAHASAN: - x + y ≤ 8 ketika x = 0, maka y = 8. (0, 8) ketika y = 0, maka x = 8. (8, 0) - x + 2y ≤ 12 ketika x = 0, maka y = 6.
(0, 6) ketika y = 0, maka x = 12. (12, 0) Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah: Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu: subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8 x + 4 = 8 x = 4.
(4, 4) Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah: f(x, y) = 5x + 4y - titik A (0, 6) 5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24 - titik B (4, 4) 5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36 - titik C (8, 0) 5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40 Jadi, nilai maksimumnya adalah 40. JAWABAN: D 2. Nilai minimum fungsi obyektif f(x, y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah.
9 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar berikut: Ingat ya, rumus persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah: ax + by = a.b, maka: - Persamaan garis p = 4x + 2y = 4.2 = 4x + 2y = 8 = 2x + y = 4 - Persamaan garis q = 3x + 3y = 3.3 = 3x + 3y = 9 = x + y = 3 Selanjutnya, kita cari titik potong garis p dan q, yaitu di titik B: subtitusikan x = 1 dalam x + y =3 1 + y = 3 y = 2. B(1, 2) kita cari nilai dari fungsi obyektif f(x, y) = 3x + 2y: - Titik A (0, 4) 3x + 2y = 3.0 + 2.4 = 8 - Titik B (1, 2) 3x + 2y = 3.1 + 2.2 = 7 - Titik C (3, 0) 3x + 2y = 3.3 + 2.0 = 9 Jadi, nilai minimumnya adalah 7 JAWABAN: C 3. Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12, 4x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah. I dan III PEMBAHASAN: - Daerah hasil 2x + 3y ≤ 12 adalah area II dan III - Daerah hasil 4x + y ≥ 10 adalah area III dan IV Maka, yang mencakup keduanya adalah area nomor III JAWABAN: C 4. Seorang tukang jahit akan membuat pakaian model A dan model B. Model A memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris.
Model B memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m. Banyaknya total pakaian jadi akan maksimal jika banyaknya model A dan model B masing-masing. 4 dan 8 PEMBAHASAN: Dari soal dapat diresume dalam tabel berikut; Model matematika yang dapat dibentuk: x + 2y ≤ 20 1,5x + 0,5 y ≤ 10 atau 15x + 5y ≤ 100 Kita cari titik potong kedua garis tersebut: subtitusikan x = 4 dalam persamaan x + 2y = 20 4 + 2y = 20 2y = 16 y = 8 maka, banyak model A = 4 dan model B = 8 JAWABAN: E 5. Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut.
18 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar: - Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12 - Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12 Titik potong garis p dan q adalah: subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12: 2x + 3.12/5 = 12 2x = 12 – 36/5 2x = 60/5 – 36/5 2x = 24/5 x = 24/10 = 12/5. Titik B (12/5, 12/5) Nilai dari fungsi obyektif 3x + 5y adalah: - Titik A (0, 6) 3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30 - Titik B (12/5, 12/5) 3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2 - Titik C (6, 0) 3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18 Jadi, nilai minimumnya adalah 18 JAWABAN: E 6. Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah. 24 PEMBAHASAN: - 3x + y ≤ 9 Jika x = 0, maka y = 9.
(0, 9) Jika y = 0, maka x = 3. (3, 0) - 5x + 4y ≥ 20 Jika x = 0, maka y =5. (0, 5) Jika y = 0, maka x = 4. (4, 0) Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya: Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B: subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9 3.16/7 + y = 9 48/7 + y = 9 y = 9 – 48/7 y = 63/7 – 48/7 y = 15/7. Titik B (16/7, 15/7) Kita cari nilai dari fungsi obyektif z = -3x + 2y: - Pada titik A (0, 9) -3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18 - Pada titik B (16/7, 15/7) -3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7 - Pada titik C (0, 5) -3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4 Jadi, nilai maksimumnya adalah 18.
![Soal Soal](/uploads/1/2/5/3/125380711/587030453.jpg)
JAWABAN: C 7. Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x: y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai maksimum untuk 3y – x dicapai di titik. T PEMBAHASAN: Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas: - Titik P P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: 2y + y = 9 3y = 9 y = 3 maka x = 2y = 6. Titik P (6, 3) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3 - Titik Q Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: x + 2x = 9 3x = 9 x =3 dan y = 2x = 6. Titik Q(3, 6) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15 - Titik R R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: 2.2x + x = 20 5x = 20 x = 4 dan y = 2x = 8. Titik R (4, 8) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20 - Titik S S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: x + x = 20 2x = 20 x = 10 dan 2y = x, maka y = 5.
Titik S (10, 5) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5 Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R JAWABAN: C 8. Nilai minimum dari -2x + 4y + 6 untuk x dan y yang memenuhi 2x + y – 20 ≤ 0, 2x – y + 10 ≥ 0, x + y – 5 ≤ 0, x – 2y – 5 ≤ 0, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah.4 PEMBAHASAN: - 2x + y – 20 ≤ 0 atau 2x + y = 20 Untuk x = 0, maka y = 20. (0, 20) Untuk y = 0, maka x = 10. (10, 0) - 2x – y + 10 ≥ 0 atau 2x – y = -10 Untuk x = 0, maka y = 10.
(0, 10) Untuk y = 0, maka x = -5. (-5, 0) - x + y – 5 ≤ 0 atau x + y = 5 Untuk x = 0, maka y = 5.
(0, 5) Untuk y = 0, maka x = 5. (5, 0) - x – 2y – 5 ≤ 0 atau x – 2y = 5 Untuk x = 0, maka y = -2,5. (0, -2,5) Untuk y = 0, maka x = 5. (5, 0) Kita cari daerah hasilnya dengan menggambarnya: - titik A adalah titik potong antara 2x – y = -10 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya: 2x + 15 = 20 2x = 5 x = 5/2. Titik A (5/2, 15) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.5/2 + 4.15 + 6 = -5 + 60 + 6 = 61 - titik B adalah titik potong antara x – 2y = 5 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya: 2x + 2 = 20 2x = 18 x = 9.
Titik B (9, 2) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.9 + 4.2 + 6 = -18 + 8 + 6 = -4 - titik C (5, 0) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.5 + 4.0 + 6 = -10 + 0 + 6 = -4 - titik D (0, 5) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.0 + 4.5 + 6 = 0 + 20 + 6 = 2 - titik E (0, 10) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.0 + 4.10 + 6 = 0 + 40 + 6 = 46 Sehingga, nilai minimalnya adalah -4 JAWABAN: E 9. Nilai minimum f(x, y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1, x + 2y ≥ 5 dan 2x + y ≤ 10 adalah. 23 PEMBAHASAN; - –x + y = 1 Jika x = 0, maka y = 1. (0, 1) Jika y = 0, maka x = -1. (-1, 0) - x + 2y = 5 jika x = 0, maka y = 5/2.
(0, 5/2) jika y =0, maka x = 5. (5, 0) - 2x + y = 10 Jika x = 0, maka y = 10. (0, 10) Jika y = 0, maka x = 5.
(5, 0) Mari kita gambar daerah hasilnya: - Titik A adalah titik potong antara –x + y = 1 dan 2x + y = 10, maka titik potongnya: 2.3 + y = 10 6 + y = 10 y = 4. Titik A (3, 4) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.3 – 5.4 = 3 + 12 – 20 = -5 - Titik B adalah titik potong antara –x + y = 1 dan x + 2y = 5, maka titik potongnya: x + 2.2 = 5 x + 4 = 5 x =1. Titik B (1, 2) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.1 – 5.2 = 3 + 4 – 10 = -3 - Titik C (5, 0) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.5 – 5.0 = 3 + 20 – 0 = 23 Jadi, nilai minimum fungsi adalah -5 JAWABAN: C 10. Fungsi F = 10x + 15y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 800, y ≤ 600, dan x + y ≤ 1000 mempunyai nilai maksimum. 16.000 PEMBAHASAN: - x = 800 - y = 600 - x + y = 1000 jika x = 0, maka y = 1000. (0, 1000) jika y = 0, maka x= 1000.
(1000, 0) Yuk, kita gambar daerah hasilnya: - titik A adalah titik potong antara y = 600 dan x + y = 1000, maka titik A adalah: x + 600 = 1000 x = 400. Titik A (400, 600) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.400 + 15.600 = 4000 + 9000 = 13.000 - titik B (0, 600) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.0 + 15.600 = 0 + 9000 = 9.000 - titik C adalah titi potong antara x = 800 dan x + y = 1000, maka titik C adalah: 800 + y = 1000 y = 200. Titik C (800, 200) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.200 = 8000 + 3000 = 11.000 - titik D (800, 0) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.0 = 8000 + 0 = 8.000 Sehingga nilai maksimumnya adalah 13.000 JAWABAN: C 11.
Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi y, maka model matematikanya adalah. X + y ≥ 20; 3x + 2y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 b. X + y ≥ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 c. X + y ≤ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 d.
X + y ≤ 20; 2x + 3y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 e. X + y ≤ 20; 3x + 2y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 PEMBAHASAN: Ikan koki = x Ikan koi = y - 20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki = x + y ≤ 20 - Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor = 24x + 36y ≤ 600 atau 2x + 3y ≤ 50 - x ≥ 0 - y ≥ 0 JAWABAN: C 12. Sebuah angkutan umum paling banyak dapat memuat 50 penumpang. Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp1.500,- dan Rp2.500. Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp75.000.
Misal banyak penumpang pelajar dan mahasiswa masing-masing x dan y. Model matematika yang sesuai untuk permasalahan tersebut adalah. X + y ≤ 50; 3x + 5y ≥ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 b. X + y ≤ 50; 3x + 5y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 c. X + y ≤ 50; 5x + 3y ≥ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 d. X + y ≥ 50; 5x + 3y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 e.
X + y ≥ 50; 3x + 5y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 PEMBAHASAN: Pelajar = x Mahasiswa = y - Sebuah angkutan umum paling banyak dapat memuat 50 penumpang = x + y ≤ 50 - Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp1.500,- dan Rp2.500. Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp75.000,- = 1500x + 2500y ≥ 75000 atau 3x + 5y ≥ 150 - x ≥ 0 - x ≥ 0 JAWABAN: A 13. Seorang ibu mempunyai 4 kg tepung terigu dan 2,4 kg mentega, ingin membuat donat dan roti untuk dijual. Satu donat membutuhkan 80gr terigu dan 40gr mentega, dan satu roti membutuhkan 50gr terigu dan 60 gr mentega. Jika ia harus membuat paling sedikit 10 buah donat maka model matematika yang sesuai adalah. 8x + 5y ≥ 400; 2x + 3y ≥ 120; x ≥ 10; y ≥ 0 b. 8x + 5y ≤ 400; 2x + 3y ≤ 120; x ≥ 10; y ≥ 0 c.
8x + 5y ≥ 400; 2x + 3y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 d. 5x + 8y ≥ 400; 3x + 2y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 e. 5x + 8y ≥ 400; 3x + 2y ≤ 12; x ≥ 10; y ≥ 0 PEMBAHASAN: Donat = x Roti = y Soal di atas kakak rangkum dalam tabel berikut: Mari kita ubah tabel di atas menjadi bentuk matematika: - 80x + 50y ≤ 4000 atau 8x + 5y ≤ 400 - 40x + 60y ≤ 2400 atau 2x + 3y ≤ 120 - Jika ia harus membuat paling sedikit 10 buah donat = x ≥ 10 - y ≥ 0 JAWABAN: B 14. Nilai minimal dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat; 4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah. 10 PEMBAHASAN: - 4x + y = 20 Jika x = 0, maka y = 20. (0, 20) Jika y = 0, maka x = 5.
(5, 0) - x + y = 20 jika x = 0, maka y = 20. (0, 20) jika y = 0, maka x = 20.
![Soal Program Linear Grafik Himpunan Penyelesaian Soal Program Linear Grafik Himpunan Penyelesaian](https://img.dokumen.tips/img/1200x630/reader001/image/20170727/5571f90149795991698e9246.png)
(20, 0) - x + y = 10 Jika x = 0, maka y = 10. (0, 10) Jika y = 0, maka x = 10. (10, 0) Yuk gambar lagi untuk mengetahui HP-nya: - Titik A (0, 20) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.0 + 6.20 = 120 - Titik B adalah titik potong antara 4x + y = 20 dan x + y = 10, maka titik B adalah: 10/3 + y = 10 y = 10 – 10/3 y = 30/3 – 10/3 y = 20/3. Titik B (10/3, 20/3) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.10/3 + 6.20/3 = 10 + 40 = 50 - Titik C (20, 0) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.20 + 6.0 = 60 - Titik D (10, 0) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.10 + 6.0 = 30 Sehingga, nilai minimalnya adalah 30 JAWABAN: C 15. Disebuah kantin, Ani dan kawan-kawan memayar tidak lebih dari Rp35.000 untuk 4 mangkok bakso dan 6 gelas es yang dipesannya, sedang Adi dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp50.000,- untuk 8 mangkok bakso dan 4 gelas es.
Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah. Rp27.500,- b. Rp30.000,- c. Rp32.500,- d. Rp35.000,- e.
Ketemu lagi dengan kakak. Gimana untuk materi-materi yang sudah kakak bagikan?
Membantu kalian tidak? Kali ini kakak akan berbagi soal dan pembahasan tentang dimensi tiga. Yuk, cekidot. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah. 4 cm PEMBAHASAN: Perhatikan gambar berikut yang mengilustrasikan soal di atas: Segitiga AGM = segitiga sama kaki, AM = MG AG = diagonal ruang kubus, ingat rumus diagonal kubus = rusuk √3 = 8√3 cm AT = GT = 8√3: 2 = 4√3 cm Segitiga AMT siku-siku di T, maka: JAWABAN: D 2.
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah. 1/3 √2 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar berikut yang mengilustrasikan soal di atas: GC = 10 cm OC = ½ diagonal sisi kubus (ingat ya rumus diagonal sisi kubus = rusuk√2 = ½.
10√2 = 5√2 cm Segitiga OGC siku-siku di C, maka.